Đề ôn tập Toán Lớp 9 - Chuyên đề: Hệ phương trình - Trường THCS Bình Tây

 TRƯỜNG THCS BÌNH TÂY
TỒ TOÁN
 CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1. Phương pháp thế
- B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có hệ số nhỏ nhất)
- B2: Thế biều thức đó vào pt còn lại để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
 x 3y 2
 2x 5y 1
 x 2 3y
 (Ta biểu diễn biến x theo biến y)
 2x 5y 1
 x 2 3y x 2 3y x 2 3y
 2(2 3y) 5y 1 4 6y 5y 1 4 y 1
 x 2 3y x 2 3.( 5) x 13
 y 5 y 5 y 5
 Vậy (-13;-5) là nghiệm của hệ phương trình
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
 5x y 5 7x 3y 5 2x 5y 2 x 2y 1
a) b) c) d) 
 3x 4y 6 7x y 3 5x 2y 1 4x 7y 4
 x y 
 1 x y 10 0 2 2 x 2y 2 2 2
e) 3 7 f ) g) 
 x 10 5y 2 10 
 2x 5y 3 x y 2 2 2
2. Phương pháp cộng đại số
- B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của cùng 1 ẩn ở 2 
pt bằng nhau hoặc đối nhau
- B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ (nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 pt để được 1 
pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
 s s
 S = v.t; v ; t .
 t v
 Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng 
 nước là 
 v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v1 - v2 
Ví dụ 1: Một chiếc xe tải đi từ TP.HCM đến TP.Cần Thơ, quãng đường dài 180km
Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.Cần Thơ về TP.HCM và gặp 
xe tải sau khi đã đi được 2 giờ.Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe 
tải 15km.
 Cách giải
 Vận tốc Thời gian Quãng 
 đường
 Xe tải x 3 3x
 Xe khách y 2 2y
 Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h)
 vận tốc của xe khách là y (km/h) (x , y > 0)
 Quãng đường xe tải đi được : 3x
 Quãng đường xe khách đi được : 2y
Theo đề bài ta có hệ phương trình sau
 3x 2y 180 x 30
 y x 15 y 45
Vậy vận tốc của xe tải là 30 km/h
 vận tốc của xe khách là 45 km/h
Ví dụ 2: Đoạn đường AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy 
gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách 
A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?
 Giải 
 Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), đk: x > 0.
 Gọi vận tốc của xe máylà y(km/h), đk: y > 0. +/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 
giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25giây .
Ta có phương trình : y+378=25x (2)
 y 7x
+/ Kết hợp (1) với (2) ta được hệ phương trình : 
 y+378=25x 
+/ Giải ra ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s
 Chiều dài của đoàn tàu là : 147m
Ví dụ 4: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút. Biết thời 
gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc dòng nước ?
 Giải
+/ Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.
 Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0)
+/ Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương 
 5 4
trình : 
 x y x y
+/ Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (= 9 h) nên ta có 
 2
 40 40 9
phương trình : 
 x y x y 2
 5 4
 x y x y
Ta có hệ phương trình : 
 40 40 9
 x y x y 2
+/ Giải ra ta có : x=18 ; y= 2
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h
Bài tập: 
Bài 1: Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm cách nhau 130km và gặp nhau 2 giờ Tính 
vận tốc của mỗi xe biết xe đi từ B có vận tốc nhanh hơn xe đi từ A là 5 km/h.
Bài 2 : Một ô tô đi từ A vào tới bên B lúc 12 giờ trưa , nếu xe chạy với vân tốc 35km/h thì sẽ 
đến B chậm 2 giờ so với dự định nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so 
với dự định .Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A ? Ví dụ 1: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích 
tam giác sẽ tăng thêm 110cm2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2. 
Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
 HD GIẢI:
 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).
 5x 4y 200
 Theo đề bài ta có hệ pt: 
 x y 45
 x 20
 Giải hệ pt ta được (thỏa ĐK).
 y 25
 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2. Tìm độ dài các cạnh 
góc vuông.
 HD GIẢI:
 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).
 Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).
 1
 Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: xy = 6 xy = 12 (2).
 2
 x2 y2 25 (x y)2 2xy 25
 Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
 x.y 12 x.y 12
 (x y)2 49 x y 7
 ( vì x, y > 0)
 x.y 12 x.y 12
 x 3 x 4
 Giải hệ pt ta được hoặc (thỏa ĐK).
 y 4 y 3
 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.
Bài tâp : 
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện 
tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng 
chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi .
Bài 3: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài là 45m Tính diện tích 
thửa ruộng.biết rằng nếu giảm chiều dài đi 2lần và chiều rộng tăng lên 3lần thì chu vi thửa 
ruộng không thay đổi. Trong một giờ người thứ nhất làm được 1 công việc
 x
Trong một giờ người thứ hai làm được 1 công việc.
 y
Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được1 công việc.
 16
 1 1 1
Ta có phương trình: (1)
 x y 16
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%= 1 công việc. Ta 
 4
 3 6 1
có phương trình (2)
 x y 4
 1 1 1 3 3 3 1 1 1
 x y 16 x y 16 x y 16
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 
 3 6 1 3 6 1 3 1
 x y 4 x y 4 y 16
 x 24
 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) .
 y 48
 Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Người thứ hai 
hoàn thành công việc trong 48 giờ.
Ví dụ 2: 
 Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu người thứ 
nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi 
mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Giải:
Gọi thời gian để một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày)
Gọi thời gian để một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày).
Trong một ngày người thứ nhất làm được 1 công việc
 x
Trong một ngày người thứ hai làm được 1 công việc
 y
Cả hai người làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai người làm được 1 công 
 2
việc. Từ đó ta có pt 1 + 1 = 1 (1)
 x y 2 1 1 5
 x y 24
 • Từ (1) và (2) ta có hệ pt: (I)
 9 6 1 1 
 1
 x 5 x y 
 5 5
 u v u v 
 1 1 24 24
 • Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành: (II).
 x y 6 51 6
 9u u v 1 u v 1
 5 5 5
 1 1 1
 u 
 12 x 12 x 12
 • Giải hệ (II), ta được: (thỏa ĐK).
 1 1 1 y 8
 v 
 8 y 8
 • Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.
 Bài tập
Bài 1. Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người thứ nhất làm 
trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình 
thì mất bao lâu sẽ xong công việc?
Bài 2. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai 
được điều đi làm việc khác. Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi 
tổ làm riêng thhì bao lâu xong công việc đó?
Bài 3. Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong 
công việc. Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu 
làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?
Bài 4: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1 
làm trong 4h ngừơì thứ 2 làm trong 3h thì đựơc 50% công việc Hỏi mỗi ngừơi làm 1 mình trong 
mấy giờ thì xong
Bài 5: Hai máy ủi trong 12h thì xan lấp được 1/10 khu đất ,Nếu máy ủi thứ 1làm 1 mình trong 
42h rồi nghỉ sau đoa máy ủi thứ 2 làm 1 mình trong 22h thì cả 2 máy ủi xan lấp được 25%khu 
đất đó Hỏi nếu làm 1 mình thì mỗi máy ủi xan lấp xong khu đất trong bao nhiêu lâu?
Bài 6: Hai người cùng làm chung 1 công việc hết 6h Nếu là riêng mỗi người làm nửa công việc 
thì tổng số giờ làm là 12 h 30 phút. Hỏi nếu mỗi người làm 1 mình xong cả công việc thì mất bao 
nhiêu giờ? Bài 9 : Hai trường THCS A và B có tất cả 250 học sinh dự thi vào trường trung học phổ thông 
 2 3
Hoàng Mai. Biết rằng nếu có 3 số học sinh dự thi của trường THCS A và 5 số học sinh dự thi 
của trường THCS B trúng tuyển thì số HS trỳng tuyển của trường A nhiều hơn số HS trúng 
tuyển của trường B là 2 HS. Tính số HS dự thi vào trường trung học phổ thông Hoàng Mai của 
trường THCS A và B.