Hướng dẫn tự học môn Toán Lớp 9 - Bài: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1. Lập hệ phương trình:
- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết
- Từ đó lập hệ phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình
Bước 3. Kiếm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều 
kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn, rồi kết luận.
Các dạng toán cơ bản:
1) D¹ng to¸n chuyÓn ®éng 
2) D¹ng to¸n n¨ng suÊt lao ®éng (sím - muén, tr­íc - sau):
3) D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc (“lµm chung - lµm riªng”, vßi n­íc ch¶y)
4) D¹ng to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn (“Thªm - bít”; “T¨ng - gi¶m”)
5) D¹ng to¸n liªn quan ®Õn tØ lÖ phÇn tr¨m.
6) D¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc.
7) D¹ng to¸n vÒ t×m sè vµ ch÷ sè.
B. BÀI TẬP
I. D¹ng to¸n chuyÓn ®éng 
 Bµi 1 Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong 1 thêi gian nhÊt ®Þnh . NÕu xe ch¹y víi 
 vËn tèc 35 km/h th× ®Õn muén 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h th× ®Õn 
 sím 1 giê. TÝnh qu·ng ®­êng AB vµ thêi gian dù ®Þnh ®i lóc ®Çu?
H­íng dÉn gi¶i:
 NÕu gäi qu·ng ®­êng AB lµ x (km) ; thêi gian dù ®Þnh ®i lµ y(giê).
 Thêi gian xe ®i víi vËn tèc 35 km/h ?
 Thêi gian xe ®i víi vËn tèc 50 km/h ?
 So s¸nh hai thêi gian trªn víi thêi gian dù ®Þnh ®i, tõ ®ã lËp ra c¸c ph­¬ng tr×nh? Baøi 3. Hai oâ toâ khôûi haønh cuøng moät luùc töø A ñeán B caùch nhau 300 km. Oâtoâ thöù nhaát 
moãi giôø chaïy nhanh hôn oâ toâ thöù hai 10 km neân ñeán B sôùm hôn oâtoâ thöù hai 1 giôø. 
Tìm vaän toác moãi xe.
H­íng dÉn gi¶i:
 Gọi vận t￿c ô tô I là x, vận tốc của ô tô II là y
Mèi liªn hÖ gi÷a hai vËn tèc nµy?
Thêi gian « t« thø nhÊt ®i hÕt qu·ng ®­êng?
Thêi gian « t« thø hai ®i hÕt qu·ng ®­êng?
T×m mèi liªn hÖ gi÷a hai thêi gian nµy?
Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh:
 x y 10
 300 300
 1 
 x y Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh? KÕt luËn?
Bài 4: Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A và từ B, ngược chiều về phía nhau. Tính 
quãng đường AB và vận tốc của mỗi xe biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại địa 
điểm cách điểm chính giữa của quãng đường AB là 10km, và nếu xe đi chậm tăng vận 
 2
tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau 1 h
 5
 Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc của xe đi nhanh là x
 vận tốc của xe đi chậm là y
Trong 2 h xe đi nhanh đi nhiều hơn xe đi chậm là 10+10 = 20km
Nên ta có pt : x-y=10
Quãng đường AB là : 2(x+y)
 2
Quãng đường AB cũng chính là : 1 (x 2y) 
 5
Ta có hệ phương trình: 4) Mét can« xu«i mét khóc s«ng dµi 40km, råi ng­îc khóc s«ng Êy hÕt 4,5giê. BiÕt 
thêi gian can« xu«i 5km b»ng thêi gian can« ng­îc 4km. TÝnh vËn tèc dßng n­íc?
Tãm l¹i: Víi d¹ng to¸n chuyÓn ®éng häc sinh chú ý:
 - HiÓu ®­îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®¹i l­îng :qu·ng ®­êng, vËn tèc, thêi gian vµ c¸c 
 ®¹i l­îng nµy liªn hÖ víi nhau bëi c«ng thøc : S = v.t
 - Trong qu¸ tr×nh chän Èn nÕu Èn lµ qu·ng ®­êng, vËn tèc, hay thêi gian th× ®iÒu kiÖn 
 cña Èn lµ lu«n d­¬ng.
 - NÕu thêi gian cña chuyÓn ®éng ®Õn chËm h¬n dù ®Þnh th× th× lËp ph­¬ng tr×nh: Thêi 
 gian dù ®Þnh + thêi gian ®Õn chËm = Thêi gian thùc tÕ. NÕu chuyÓn ®éng trªn mét 
 qu·ng ®­êng th× thêi gian vµ vËn tèc tØ lÖ nghÞch víi nhau.
II. D¹ng to¸n n¨ng suÊt lao ®éng (sím - muén, tr­íc - sau):
 Coâng thöùc:
 Toång khoái löôïng coâng vieäc = naêng suaát . thôøi gian
Bµi 1: Mét « t« dù ®Þnh ®i tõ A ®Õn B trong mét thêi gian nhÊt ®Þnh. NÕu xe ch¹y mçi 
giê nhanh h¬n 10km th× ®Õn n¬i sím h¬n dù ®Þnh lµ 3giê. Cßn nÕu xe ch¹y chËm mçi 
giê 10km th× ®Õn n¬i chËm mÊt 5 giê. TÝnh vËn tèc, thêi gian dù ®Þnh vµ qu·ng ®­êng?
Hướng dẫn giải: Nếu gọi thời gian dù ®Þnh lµ x, vận tốc dù ®Þnh lµ y, qu·ng ®­êng lµ x.y
Khi xe chạy nhanh tính vận tốc của xe và thời gian xe đi theo ẩn ?
Tìm mối liên hệ để lập phương rtình ? (y+10). (x-3) =xy
Khi xe chạy chậm tính vận tốc của xe và thời gian xe đi theo ẩn ?
Tìm mối liên hệ để lập phương trình ? (y-10).(x+5)=xy
 x 3 y 10 xy
Lập hệ phương trình rồi giải phương trình ? 
 x 5 y 10 xy
Lời giải :
Gọi thời gian dự định đi là x (h), vận tốc dự định đi là y (km/h)
Quãng đường AB là : x.y (km)
Khi xe chạy nhanh hơn dự định là 10 km/h thì vận tốc là : y+10 (km/h)
 thời gian đi là : x -3 ( h)
Ta có phương trình : (y+10). (x-3) =xy x 1,5x y 50
HÖ pt: 
 1,5.x.2 x.2,5 y.3 118
Bài 4: Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong một thời gian như nhau. 
Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên hoàn thành cv trước thời hạn 2 giờ. 
Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên hoàn thành cv sớm hơn thời hạn 3 ngày 
và còn làm thêm 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi đội được giao?
HD:Gọi số dụng cụ mỗi đội phải làm trong một giờ là x
Thì gian phải làm hết số dụng cụ được giao là y.
Số dụng cụ được giao là: xy
 x 2 y 2 xy
Hệ pt: 
 x 4 y 3 xy 6
Bài 5: Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm trong 20 ngày, phân xưởng II làm trong 15 
ngày, được tất cả 1600 dụng cụ. Biết số dụng cụ phân xưởng I làm trong 4 ngày bằng số 
dụng cụ phân xưởng II làm trong 5 ngày. Tính số dụng cụ mỗi phân xưởng đã làm.
HD: Gọi số dụng cụ phân xưởng I, II đã làm trong một ngày là x, y
 20x 15y 1600
Hpt: x=50, y=40 Vậy số dụng cụ phân xưởng I đã làm là: 
 4x 5y
 20.50=1000 Vậy số dụng cụ phân xưởng II đã làm là: 15.40=600
III- D¹ng to¸n vÒ c«ng viÖc ( lµm chung - lµm riªng, vßi n­íc ch¶y)
Coi toµn bé c«ng viÖc lµ mét ®¬n vÞ vµ biÓu thÞ b»ng 1, nÕu thùc hiÖn xong mét c«ng viÖc 
hÕt x ngµy (giê, phót...) th× trong mét ngµy(giê, phót...) lµm ®­îc 1/x c«ng viÖc vµ tØ sè 
1/x chÝnh lµ n¨ng xuÊt lao ®éng trong mét ngµy (giê, phót...).
Bµi 1: Hai ng­êi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 7 giê 12 phót th× xong. NÕu 
ng­êi thø nhÊt lµm trong 5 giê vµ ng­êi thø hai lµm trong 6 giê th× c¶ hai ng­êi chØ lµm 
 3
®­îc c«ng viÖc. Hái mét ng­êi lµm c«ng viÖc ®ã trong mÊy giê th× xong?
 4
H­íng dÉn gi¶i: 
 Nếu gọi thời gian người I làm một mình xong cv đó là x
 thời gian người II làm một mình xong cv đó là y
 Thì trong 1 giờ người 1, người 2 và cả hai ngừi làm được bao nhiêu phần công việc? 
 hãy biểu diễn theo ẩn? 10
Trong 10 giê ng­êi thø hai lµm ®­îc: (phÇn c«ng viÖc)
 x
 1
Trong 1 giê c¶ hai ng­êi lµm ®­îc: (phÇn c«ng viÖc)
 12
 4
Trong 4 giê c¶ hai ng­êi lµm ®­îc: (phÇn c«ng viÖc)
 12
Theo ®Ò bai hai ng­êi lµm chung trong 4 giê sau ®ã ng­êi thø hai lµm nèt trong 10 giê th× 
 4 10
xong c«ng viÖc nªn ta cã ph­¬ng tr×nh: 1
 12 x
Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x = 15
VËy mét m×nh ng­êi thø hai lµm xong toµn bé c«ng viÖc hÕt 15 giê.
 4
Bµi 3: NÕu vßi A ch¶y 2 giê vµ vßi B ch¶y trong 3 giê th× ®­îc hå. NÕu vßi A ch¶y 
 5
 1
trong 3 giê vµ vßi B ch¶y trong 1 giê 30 phót th× ®­îc hå. Hái nÕu ch¶y mét m×nh 
 2
mçi vßi ch¶y trong bao l©u míi ®Çy hå.
Hướng dẫn: Gọi thời gian vòi A chày một mình đầy bể là x
 Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là y
 Trong 1 h vòi A chảy được 1/x bể
 Vòi B chảy được 1/y bể
 2 3 4
 x y 5
 Ta có hpt : 
 3 1,5 1
 x y 2
Bµi 4: Hai vßi n­íc cïng ch¶y vµo mét bÓ th× sau 6 giê ®Çy bÓ. NÕu mçi vßi ch¶y mét 
m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lµ 5 giê. TÝnh thêi gian mçi 
vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ?
Hướng dẫn Gọi thời gian vòi I chày một mình đầy bể là x
 Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y
 Trong 1 h vòi I chảy được 1/x bể IV- D¹ng to¸n vÒ tØ lÖ chia phÇn ( Thªm - bít; T¨ng - gi¶m)
Bµi 1: Hai cöa hµng cã 600(l) n­íc m¾m. NÕu chuyÓn 80(l) tõ cöa hµng thø nhÊt sang 
cöa hµng thø hai th× sè n­íc m¾m ë cöa hµng thø hai sÏ gÊp ®«i sè n­íc m¾m ë cöa 
hµng thø nhÊt. Hái lóc ®Çu mçi cöa hµng cã bao nhiªu lÝt n­íc m¾m?
H­íng dÉn: Gäi sè n­íc m¾m ë mçi cöa hµng lóc ®Çu lµ x, y lÝt
Tæng sè n­íc m¾m ë c¶ hai cöa hµng lµ bao nhiªu? Ta cã ngay ph­¬ng tr×nh nµo? 
(x+y=600)
Sau khi chuyÓn th× sè n­íc m¨m ë mçi cöa hµng lµ bao nhiªu lÝt? T×m mèi liªn hÖ gi÷a c¸c 
®¹i l­îng ®ã ®Ó lËp ph­¬ng tr×nh?
 x y 600
Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh nµo? 
 2(x 80) y 80
Lêi gi¶i:
Gäi sè n­íc m¾m ë mçi cöa hµng lóc ®Çu lµ x, y lÝt
Hai cöa hµng cã 600 lÝt nªn ta cã ph­¬ng tr×nh: x+ y = 600
Sau khi chuyÓn th×: cöa hµng thø nhÊt cßn: x – 80 lÝt.
 cöa hµng thø hai cã:y + 80 lÝt.
Khi ®ã n­íc m¾m ë cöa hµng hai gÊp ®«i ë cöa hµng thø nhÊt nªn ta cã ph­¬ng tr×nh:2(x- 
80) =y + 80
 x y 600
Ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
 2(x 80) y 80
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ta ®­îc x = 280; y = 320
Bµi 2: Thïng dÇu thø nhÊt chøa nhiÒu gÊp ®«i thïng thø hai. NÕu chuyÓn tõ thïng 
thø nhÊt sang thïng thø hai 25 lÝt th× l­îng dÇu hai thïng b»ng nhau. T×nh l­îng dÇu 
trong mçi thïng lóc dÇu?
HD::Gäi sè dÇu trong thïng thø nhÊt vµ thø hai lµ x vµ y ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh sau: x y 720
Hpt: 15 12
 x x y y 819
 100 100
Bài tương tự: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I 
đã vượt mức 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%, do đó cả hai xí nghiệp đã 
làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch.
Bµi 3: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vµ B lµ 4 triÖu ng­êi. D©n sè tØnh A n¨m 
nay t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1%. Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m nay lµ 4 045 
000 ng­êi. TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay?
HD : Gäi sè d©n tØnh A vµ B n¨m ngo¸i lµ x, y
 x y 4000000
HÖ ph­¬ng tr×nh: 
 x 1,2%x y 1,1%y 4045000
Bµi 4: Hai tr­êng A vµ B cña mét thÞ trÊn cã 210 hs líp 9 thi ®ç líp 10 ®¹t tû lÖ 
84%.TÝnh riªng th× tr­êng A ®ç 80%, tr­êng B ®ç 90%.TÝnh xem mçi tr­êng cã bao 
nhiªu hs líp 9 dù thi. 
HD:Gäi sè hs dù thi cña tr­êng A, tr­êng B lÇn l­ît lµ x, y Tæng sè hs dù thi cña c¶ 
2 tr­êng lµ: 210:84%=250
 x y 250
HÖ ph­¬ng tr×nh: 80 90
 x y 210
 100 100
VI- D¹ng to¸n cã néi dung h×nh häc.
Bµi 1: Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng mét nöa c¹nh ®¸y. NÕu chiÒu cao t¨ng thªm 3(dm) 
vµ c¹nh ®¸y gi¶m ®i 2(dm) th× diÖn tÝch cña nã t¨ng thªm 13 (dm 2 ). TÝnh chiÒu cao vµ c¹nh 
®¸y
*) H­íng dÉn gi¶i:
CÇn cho häc sinh hiÓu r»ng bÊt k× tam gi¸c nµo còng cã c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch lµ: 
 1 1
 S aha [DiÖn tÝch = (c¹nh ®¸y . chiÒu cao)]
 2 2
H­íng dÉn häc sinh chän Èn vµ lËp b¶ng, ®iÒn c¸c sè liÖu vµo b¶ng:
 C¹nh ®¸y ChiÒu cao DiÖn tÝch 1
 x 2 y 3 xy 50
 2
HÖ ph­¬ng tr×nh: 
 1
 x 2 y 2 xy 32
 2
VII- D¹ng to¸n vÒ t×m sè vµ ch÷ sè.
Bµi 1: T×m mét sè tù nhiªn cã 2 ch÷ sè biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña nã lµ 13 vµ nÕu céng 34 
vµo tÝch 2 ch÷ sè th× ®­îc chÝnh sè ®ã?
 Gi¶i :
 Gäi sè tù nhiªn lµ ab 10a b (a,b N,1 a 9,0 b 9)
 a b 13
 Theo bµi ra ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh 
 ab 34 10a b
 Gi¶i hÖ ta cã a=7,b=6 ( tho¶ m·n)
 VËy sè cÇn t×m lµ 76.
Bµi 2: Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu t¨ng tö lªn 3 ®¬n vÞ vµ gi¶m mÉu sè 
®i 4 ®¬n vÞ th× ®­îc ph©n sè b»ng 3/ 4. T×m ph©n sè ban ®Çu 
 *) H­íng dÉn 
 Gäi tö lµ x , mÉu lµ y
 T×m ph©n sè míi khi t¨ng tö lªn 3 ®¬n vÞ vµ mÉu gi¶m ®i 4 ®¬n vÞ 
 Ta lËp b¶ng
 Lóc ®Çu Sau khi t¨ng, gi¶m
 Tö x x + 3
 MÉu y y- 4
 x 11 y
 HÖ ph­¬ng tr×nh: x 3 3
 y 4 4
Bµi 3: Mét sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè. Tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 16. NÕu ®æi chç hai ch÷ 
sè cho nhau th× ®­îc mét sè lín h¬n sè ®· cho lµ 18. 
 T×m sè ®· cho
H­íng dÉn: C¸ch 1: Gäi ch÷ sè hµng chôc cña sè ph¶i t×m lµ : x ( 0 < x 9, x N )
 ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè ph¶i t×m lµ y