Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8

 MỤC LỤC
 A .MỞ ĐẦU
I- Lý do chọn đề tài ................................................................................trang 2
II- Đối tượng nghiên cứu .......................................................................trang 2
III- Phương pháp nghiên cứu .................................................................trang 2
 B.NỘI DUNG
1- Cơ sở lí luận.......................................................................................trang 3
2- Cơ sở thực tiễn.............................................................................. trang 10
3- Nội dung ....................................................................................... trang 10
 C. KẾT LUẬN
Kết luận ................................................................................................trang 13
Bài học kinh nghiệm ............................................................................trang 13
Tài liệu tham khảo...............................................................................trang 14
 1 Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8A2 và 8A3 năm học 2017 – 
2018 trường THCS Nguyễn Thị Định Quận 2 – TP Hồ Chí Minh.
 Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên 
bản thân chỉ nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở 
chương trình SGK, SBT Toán 8 hiện hành.
 4.Phương pháp nghiên cứu: 
 +Nghiêncứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liên quan. 
 +Nghiên cứu qua việc thực hành giải bài tập của học sinh. 
 +Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra. 
 +Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh. 
B. NỘI DUNG:
 1. Cơ sở lý luận: 
 Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ 
thông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong 
thời kỳ đổi mới đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo nước ta trước những thời 
cơ và thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo 
luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “ nâng cao dân trí, đào tạo 
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo 
dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”. 
 Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường 
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ 
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến 
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn Toán là môn học 
đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. 
 Việc học Toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập 
do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát 
hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức 
thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu 
 3 3. Nội dung vấn đề 
 3.1.Những giải pháp mới của đề tài:
 * Đề tài đưa ra các giải pháp mới như sau: 
 -Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản. 
 -Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân 
tử. 
 * Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản 
 + Phương pháp Đặt nhân tử chung 
 + Phương pháp Dùng hằng đẳng thức 
 + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử 
 * Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng 
 + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) 
 - Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán. 
 - Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành. 
 - Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán. 
 - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao). 
 * Đối với học sinh khá, giỏi : Phát triển tư duy (giới thiệu hai phương pháp) 
 + Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác. 
 + Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
 3.2. Các phương pháp thường gặp:
  Củng cố kiến thức cơ bản
  Phương pháp chung: 
 Ta thường làm như sau: 
 - Tìm nhân tử chung của các hệ số ( ƯCLN của các hệ số). 
 - Tìm nhân tử chung của các biến ( mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ). 
 Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D). 
 Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử 
  Ví dụ1:Phân tích đa thức 14x 2y–21xy2+28x2y2 thành nhân tử.(BT-39c-
SGK-tr19) 
 Giáo viên gợi ý: 
 5 = (x –y)(10y –x) 
 Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: 
 Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số 
 và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). 
 Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. 
 Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một 
cách tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tư trong tích đó). 
 * Phương pháp chung: 
 Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về 
“dạng tích”
  Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y) 2– (x–y)2 thành nhân tử. (BT- 28a)-
SBT-tr6) 
 Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A 2 –B 2 ) 
 Lời giải sai: (x + y) 2– (x–y)2 = (x + y – x–y)(x + y + x – y) (thiếu dấu 
ngoặc) 
 = 0.(2x) = 0 (kết quả sai) 
 Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc 
 Lời giải đúng: (x + y)2– (x–y)2 = [(x + y) – (x –y)].[(x + y)+ (x – y)] 
 = (x+ y – x + y)(x + y + x– y) 
 = 2y.2x = 4xy
 Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: 
 - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu 
 - Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, 
bình phương của một hiệu. 
 * Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các 
em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. 
 * Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán 
  Ví dụ 5 :Phân tích (x + y)3– (x–y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) 
 = [(x+y)-(x-y)][(x-y)2+(x+y)(x-y)+ (x–y)2]
 =( x+y-x+y)(x2+2xy+y2+x2-y2+ x2-2xy+y2)
 7 = (x – 1)2– (2y)2 
 = (x – 1– 2y)(x –1 + 2y)
 3) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: 
 Ví dụ 8 : Phân tích đa thức x 2 – 2x – 4y 2 – 4y thành nhân tử. 
 Lời giải sai: x 2 – 2x – 4y 2 – 4y = (x 2 – 4y 2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) 
 = (x + 2y)(x – 2y) –2(x –2y) (sai từ trên) 
 = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quảdấu sai) 
 Sai lầm của học sinh là: 
 Nhóm x 2 –2x – 4y 2 – 4y = (x 2 – 4y 2 )– (2x– 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc 
thứ hai) 
 Lời giải đúng: x 2 – 2x – 4y 2 – 4y = (x 2 – 4y 2 )+ (– 2x – 4y ) 
 = (x + 2y)(x– 2y) – 2(x + 2y) 
 = (x + 2y)(x– 2y – 2) 
 Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: 
 Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước 
dấu 
ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. 
 Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần 
chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. 
 Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá 
trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, 
phải thực hiện lại. 
  Vận dụng và phát triển kỹ năng: 
  Phương pháp chung: 
 Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, 
đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán 
một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp. 
 Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ? 
 - Dùng hằng đẳng thức ? 
 - Nhóm nhiều hạng tử ? 
 9 = 3(x2 – 22 ) –8(x – 2) = 3(x –2)(x + 2) – 8(x – 2) 
 = (x –2)(3x + 6– 8) = (x –2)(3x – 2) 
* Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
 - Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương.(cách 1) 
 - Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất 
hiện nhân tử chung (x – 2). (cách 2) 
 - Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (cách 3) 
 Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện 
các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm 
nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán. 
 Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các 
hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp 
nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử 
chung. 
  Ví dụ 11: Phântích đa thức sau ra thừa số : n 3 – 7n + 6
 Giải: n3 –7n + 6 = n3 – n – 6n + 6 = n(n 2 –1)– 6(n –1) 
 = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) –6] 
 = (n – 1)(n2 + n– 6) = (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) 
 = (n – 1)[n(n – 2) + 3(n –2)]= (n – 1)(n– 2)(n + 3) 
 Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp 
nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chunghoặc dạng hằng đẳng thức. 
  Ví dụ 12: Phân tích đa thức x4 + x2 + 1 thành nhân tử. 
 Ta có phân tích: 
 - Tách x 2 thành 2x2 – x2 :(làm xuất hiện hằng đẳng thức) 
 Ta cóx 4 + x 2 + 1 = x 4 + 2x2 + 1– x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 
 - Thêm x và bớt x:( làm xuất hiện hằng đẳng thức vàđặt nhân tử chung) 
 Ta cóx 4 + x 2 + 1 = x 4 – x + x 2 + x + 1 = (x 4 –x) + (x 2 + x + 1) 
 Giải: x 4 + x 2 + 1 = x 4 – x + x 2 + x + 1 
 = (x 4 –x) + (x 2 + x + 1) 
 = x(x – 1)(x 2 + x+ 1) + (x 2 + x + 1) 
 11 - Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung thì bước tiếp theo đối 
với biểu thức còn lại trong ngoặc thường là thu gọn, hoặc sử dụng phương pháp 
nhóm hoặc dùng phương pháp hằng đẳng thức 
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thì bước tiếp theo đối 
với các biểu thức đã nhóm thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc 
dùng phương pháp hằng đẳng thức 
- Nếu ở bước 1, đã sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức thì bước tiếp theo 
của bài toán thường sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng 
đẳng thức 
 Chú ý 
 + Phương pháp đặt nhân tử chung không thể sử dụng liên tiếp nhau ở hai 
bước liền 
 + Phương pháp nhóm khôngthể sử dụng liên tiếp nhau ở hai bước liền 
 +Phương pháp dùng hằng đẳng thức cóthể sử dụng liên tiếp nhau ở hai 
bước liền 
 * Trong phương pháp đặt nhân tử chung học sinh thường hay bỏ sót hạng 
tử 
 * Trong phương pháp nhóm học sinh thường đặt dấu sai 
 Vì vậy, giáo viên nhắc nhở học sinh cẩn thận trong khi thực hiện các phép 
biến đổi, cách đặt nhân tử chung, cách nhóm các hạng tử, sau mỗi bước giải phải 
có sự kiểm tra. Phải có sự đánh giá bài toán chính xác theo một lộ trình nhất định, 
từ đó lựa chọn và sử dụng các phương pháp phân tích cho phù hợp. 
 Xây dựng học sinh thói quen học tập, biết quan sát, nhận dạng bài toán, 
nhận xét đánh giá bài toán theo quy trình nhất định, biết lựa chọn phương pháp 
thích hợp vận dụng vào từng bài toán, sử dụng thành thạo kỹ năng giải toán trong 
thực hành, rèn luyện khả năng tự học, tự tìm tòi sáng tạo. Khuyến khích học sinh 
tham gia học tổ, nhóm, học sáng tạo, tìm những cách giải hay, cách giải khác. 
 *Kết quả 
 Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của 
bộ môn đối với học sinh đại trà. 
 13