Tài liệu Ôn tập Toán 9 - Phần 3

 CHUYÊN ĐỀ: 
 HỆ THỨC VI-ET VÀ ỨNG DỤNG 
 A. Lý thuyết: 
 1)Hệ thức Vi-et: 
 2
 + Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 thì 
 b c
 S = x1 +x2 = P = x1.x2 = 
 a a
 2) Áp dụng hệ thức Vi-et để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai: 
 c
 xx1;
 - Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 12a 
 c
 xx1;
 - Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 12a 
3) Tìm hai số khi biết tổng và tích: 
Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y là nghiệm của phương trình: 
 X2 – SX + P = 0 
Điều kiện S2 4P. 
B. Bài tập: 
Vận dụng Định lý Vi-et và Vi-et đảo ta chia làm các dạng bài tập sau: 
Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 
Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 
 a) 3x2 - 5x + 2 = 0 
 b) -7x2 - x + 6 = 0 
Giải: 
 a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 
 c 2
 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = = 
 a 3
 b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 
 c 6
 nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = - = 
 a 7
Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm 
theo hệ thức Viét, xét ví dụ sau: 11xx xx
 12x22 x x x 12
k) l) 1 2 1 2 m) xx 
 22xx12 21
Bài 2: Tương tự: 2xx2 5 1 0 ; 3xx2 4 3 0 ; 3xx2 2 5 0 
 2
Bài 3: Cho pt: xx4 3 8 0 có hai nghiệm x1; x2. Không giải pt hãy tính: 
 6x22 10 x x 6 x
 A 1 1 2 2
 33 
 55x1 x 2 x 1 x 2
Dạng 4: Tính giá trị của tham số khi biết mối liên hệ giữa các nghiệm: 
 2
Bài 1: Cho pt x60 x m . Tính giá trị của m biết pt có hai nghiệm x1; x2 thoả: 
 11 1 1 4
 22 3
a) xx1236 b) c) 22 
 xx12 xx123
 2
Bài 2: Cho pt x80 x m . Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
một trong các hệ thức sau: 
 22
a) xx1250 b) xx127 c) 2xx12 3 26 d) xx122 
 2
Bài 3: Cho pt x( m 3) x 2( m 2) 0 . Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
 xx122 . Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt? 
Bài 4: 
 2
a) Tìm k để pt: x( k 2) x k 5 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả
 22
 xx1210 
 2 22
b) Tìm m để pt: x2( m 2) x 5 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả xx1218 
 2
c) Tìm k để pt: (k 1) x 2( k 2) x k 3 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả 
 (4xx12 1)(4 1) 18 
 2
d) Tìm m để pt: 5x mx 28 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả 5xx12 2 1 
Dạng 5: Các bài toán tổng hợp. 22
 b) Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thoả 10x1 x 2 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ 
 nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó? 
 2
Bài 6: Cho pt x2 mx 2 m 1 0 
 a) Chứng minh rằng pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi m. 
 22
 b) Đặt A2( x1 x 2 ) 5 x 1 x 2 
 +) Chứng minh A8 m2 18 m 9 
 +) Tìm m sao cho A = 27. 
 2
Bài 7: Cho pt x2( m 1) x m 4 0 
 a) Giải pt khi m = -5 
 b) CMR pt luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m. 
 c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu. 
 d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương. 
 e) CMR biểu thức A x1(1 x 2 ) x 2 (1 x 1 ) không phụ thuộc m. 
 2
Bài 8: Cho pt x2( m 2) x m 1 0 
 3
 a) Giải pt trên khi m 
 2
 b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? 
 c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm? 
 2
 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x1(1 2 x 2 ) x 2 (1 2 x 1 ) m 
 2
Bài 9: Cho pt (m 1) x 2( m 1) x m 2 0 
 a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt. 
 b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia. 
 c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 
 1 1 7 11
 1 22
 ; ; xx122 
 xx124 xx12
 d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x1 x 2 ) 5 x 1 x 2 c) Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m. 
 22
d) Tìm m để pt có nghiệm thoả xx125